🎛️ Joue Monty Hall 1 000 fois et compare les stratégies
Stratégie « Garder » vs « Changer ». Les statistiques te montreront sans appel pourquoi il faut TOUJOURS changer.
Garder — parties
0
Garder — victoires
0 (0%)
Changer — parties
0
Changer — victoires
0 (0%)
Lance des simulations. Tu verras la stratégie « Changer » converger vers 2/3 ≈ 66.7%, et la stratégie « Garder » vers 1/3 ≈ 33.3%.
📺 Le contexte : un jeu télé américain
Dans les années 60-70, l'émission télé Let's Make a Deal est un carton aux États-Unis. L'animateur, Monty Hall, met le candidat face à trois portes. Derrière l'une se cache une voiture. Derrière les deux autres, des chèvres.
Le candidat choisit une porte (disons la porte 1). L'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte (disons la porte 3) et révèle une chèvre. Il propose ensuite au candidat : « voulez-vous changer pour la porte 2 ? »
Que faire ? La plupart des gens répondent : « ça ne change rien, c'est 50/50 ». Tous se trompent.
La bonne réponse
Si tu changes, tu as 2/3 ≈ 66.7% de gagner.
Si tu gardes, tu as seulement 1/3 ≈ 33.3%.
😱 1990 : la controverse mondiale
En septembre 1990, Marilyn vos Savant, journaliste réputée pour son QI de 228 (record du monde), publie le problème dans sa chronique du magazine Parade. Sa réponse : « Changez de porte, vous doublez vos chances ».
Elle reçoit 10 000 lettres de protestation, dont 1 000 signées par des doctorants en mathématiques. Certains la traitent d'incompétente, d'autres lui demandent de « retourner étudier les probas ». Le mathématicien Paul Erdős, l'un des plus prolifiques du XXᵉ siècle, n'a pas voulu y croire avant qu'on lui montre une simulation informatique.
Marilyn vos Savant avait raison. Tous les autres se trompaient. Le scandale a duré des mois. Les universités américaines ont reçu des excuses publiques de professeurs qui s'étaient gourés en public.
🎯 Pourquoi la bonne réponse est « Changer » ?
L'erreur classique est de croire que quand 2 portes restent, c'est 50/50. Faux, parce que les 2 portes n'ont pas la même histoire.
Approche 1 — Le raisonnement direct
À l'instant où tu choisis ta porte (disons la 1) :
- P(voiture en 1) = 1/3
- P(voiture en 2 ou 3) = 2/3
L'animateur ouvre une porte vide parmi les 2 que tu n'as pas choisies. Mais l'information que la voiture est dans 3 reste valide : ces deux portes contiennent collectivement la voiture avec probabilité 2/3.
Comme l'une des deux est maintenant éliminée (la 3 si c'est elle que l'animateur a ouverte), la porte 2 absorbe à elle seule les 2/3 de probabilité. C'est pour ça que changer double tes chances.
Approche 2 — Tableau exhaustif
Suppose que tu choisis toujours la porte 1, et compte les cas (équiprobables) :
| Voiture en | Animateur ouvre | Garder → résultat | Changer → résultat |
|---|---|---|---|
| Porte 1 | 2 ou 3 | 🚗 Gagné | 🐐 Perdu |
| Porte 2 | 3 (obligé) | 🐐 Perdu | 🚗 Gagné |
| Porte 3 | 2 (obligé) | 🐐 Perdu | 🚗 Gagné |
Stratégie « Garder » : gagne 1 cas sur 3 = 1/3. Stratégie « Changer » : gagne 2 cas sur 3 = 2/3. Démonstration sans formule, par énumération.
🚪 La généralisation à n portes
Imagine maintenant 100 portes. Tu en choisis une (probabilité 1/100 de gagner). L'animateur ouvre 98 portes vides parmi les 99 autres. Il ne reste plus que ta porte initiale et une autre. Faut-il changer ?
Évidemment ! Ta porte initiale a 1/100. L'autre porte qui reste a absorbé tous les 99/100. Tu multiplies tes chances par 99 en changeant. Avec cette version à 100 portes, l'intuition redevient claire.
📐 La formule générale (probabilités conditionnelles)
Notons = « la voiture est derrière la porte i », et = « l'animateur ouvre la porte j ». Si tu choisis la porte 1 et que l'animateur ouvre la porte 3 :
P( | ) = P( | ) · P() / P()
Avec :
- P() = 1/3 (a priori)
- P( | ) = 1 (l'animateur N'A QUE la porte 3 à ouvrir)
- P() = 1/2 (selon la stratégie de l'animateur)
Calcul : P( | ) = 1 · (1/3) / (1/2) = 2/3. CQFD par Bayes.
🌍 Applications du Monty Hall
- Apprentissage bayésien : c'est l'exemple type de l'effet de l'information nouvelle sur une distribution a priori. Présent dans tous les cours de stats bayésiennes.
- Théorie de la décision : Monty Hall illustre que la stratégie optimale dépend de l'information disponible, pas seulement des chances brutes.
- Économie comportementale : étudié par Kahneman et Tversky comme exemple de biais cognitif systématique (« biais d'équiprobabilité »).
- Tests psychologiques : Monty Hall est utilisé dans les tests d'aptitude statistique. Très peu de gens le résolvent du premier coup, même parmi les chercheurs.
🎓 Le lien avec ton programme
- Probabilités conditionnelles (Terminale) : Monty Hall est l'exemple parfait d'application du théorème de Bayes. Tombe régulièrement aux examens.
- Probabilité de l'intersection : la formule de Bayes utilise P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B). Monty Hall en est une démonstration concrète.
- Indépendance : on apprend ici que l'information de l'animateur N'EST PAS indépendante du choix initial, contrairement à l'intuition.
- Mauvaise intuition probabiliste : Monty Hall est l'un des sophismes qu'on couvre dans la Cartographie des erreurs cognitives.
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