🎰 Trois questions de la vraie vie
- Combien de codes PIN à 4 chiffres existe-t-il ? (cartes bancaires)
- Combien de podiums possibles dans une course de 10 coureurs ? (1er, 2ᵉ, 3ᵉ)
- Combien de mains de 5 cartes au poker (52 cartes) ?
Ces 3 questions semblent similaires : « combien y a-t-il de manières de… ». Mais elles appellent trois techniques de comptage différentes. Maîtriser le dénombrement, c'est savoir reconnaître laquelle des trois s'applique.
📊 Les trois outils du dénombrement
- P-listes (principe multiplicatif) : np — quand on choisit p éléments avec répétition (code PIN)
- Arrangements Apn : n(n−1)…(n−p+1) — p éléments parmi n, sans répétition, ordre important (podium)
- Combinaisons Cpn : Apn / p! — p éléments parmi n, sans répétition, ordre indifférent (main au poker)
Trois questions, trois formules. Voyons-les en action.
🎛️ Compte en direct
Choisis n et p, sélectionne le type de dénombrement, et vois apparaître les premiers exemples listés, avec le total.
🎛️ Générateur P / A / C
On prend p éléments parmi {A, B, C, D, E, F}. Compare les trois manières.
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🧮 Les formules à connaître par cœur
(P-listes)
(Arrangements)
(Combinaisons)
Astuce : pour différencier arrangement et combinaison, demande-toi « ABC et CBA sont-ils différents ? ». Si oui, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.
🎯 Application aux 3 questions
- Codes PIN : 10 chiffres possibles, 4 positions, répétition autorisée.
→ = 10 000 codes possibles. - Podium (1er, 2ᵉ, 3ᵉ) sur 10 coureurs : 3 places parmi 10, sans répétition, ordre important.
→ = 10 × 9 × 8 = 720 podiums. - Main de 5 cartes sur 52 : 5 cartes parmi 52, sans répétition, ordre indifférent (l'ordre des cartes en main ne change rien).
→ = 2 598 960 mains possibles.
🎓 Le dénombrement au BAC SM
Le dénombrement est un chapitre massif du 2BAC SM. Tu y verras :
- Principe multiplicatif (« règle du ET »)
- Principe additif (« règle du OU » sur ensembles disjoints)
- Permutations : arrangement de n éléments parmi n (= n!)
- Arrangements Apn
- Combinaisons Cpn et propriétés (symétrie, formule de Pascal)
- Formule du binôme de Newton (en lien avec le concept Triangle de Pascal)
- Application aux probabilités : tirages avec ou sans remise, loi binomiale
🌍 Le dénombrement dans le monde réel
- Loto : 6 numéros parmi 49. C649 = 13 983 816 combinaisons. C'est pour ça que tu ne gagnes jamais.
- Cryptographie : estimer le nombre de clés possibles d'un algorithme
- Génétique : combien de combinaisons d'ADN possibles ?
- Algorithmique : complexité des problèmes combinatoires (sac à dos, voyageur de commerce)
- Statistique inférentielle : choix d'un échantillon de n personnes parmi N
🧠 Réflexion finale
Le dénombrement est le premier outil historique des probabilités. Pascal et Fermat ont fondé la théorie des probabilités en 1654 en correspondance, autour de questions de jeu de hasard : combien de manières de tomber sur tel ou tel résultat ?
Aujourd'hui, c'est aussi le premier outil de l'algorithmique théorique. Quand un développeur estime « cet algo va prendre 2n opérations », il fait du dénombrement.
Maîtrise les 3 formules (P-listes, A, C) et reconnais quand utiliser laquelle. Tu auras la moitié du chapitre proba dans la poche.
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.