Le dénombrement

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Disponible dans 126 jours

Ce concept sera publié le 23 octobre 2026. L'Atlas des concepts s'enrichit d'un nouveau concept chaque semaine.

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🎰 Trois questions de la vraie vie

Combien de codes PIN à 4 chiffres existe-t-il ? (cartes bancaires)
Combien de podiums possibles dans une course de 10 coureurs ? (1er, 2ᵉ, 3ᵉ)
Combien de mains de 5 cartes au poker (52 cartes) ?

Ces 3 questions semblent similaires : « combien y a-t-il de manières de… ». Mais elles appellent trois techniques de comptage différentes. Maîtriser le dénombrement, c'est savoir reconnaître laquelle des trois s'applique.

📊 Les trois outils du dénombrement

P-listes (principe multiplicatif) : n^p — quand on choisit p éléments avec répétition (code PIN)
Arrangements A^p_n : n(n−1)…(n−p+1) — p éléments parmi n, sans répétition, ordre important (podium)
Combinaisons C^p_n : A^p_n / p! — p éléments parmi n, sans répétition, ordre indifférent (main au poker)

Trois questions, trois formules. Voyons-les en action.

🎛️ Compte en direct

Choisis n et p, sélectionne le type de dénombrement, et vois apparaître les premiers exemples listés, avec le total.

🎛️ Générateur P / A / C

On prend p éléments parmi {A, B, C, D, E, F}. Compare les trois manières.

n (taille du sac) = 5 p (tirage) = 2

🧮 Les formules à connaître par cœur

$n^{p}$ (P-listes)
$A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n - p)!}$ (Arrangements)
$C_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n - p)!}$ (Combinaisons)

Astuce : pour différencier arrangement et combinaison, demande-toi « ABC et CBA sont-ils différents ? ». Si oui, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.

🎯 Application aux 3 questions

Codes PIN : 10 chiffres possibles, 4 positions, répétition autorisée.
→ $10^{4}$ = 10 000 codes possibles.
Podium (1er, 2ᵉ, 3ᵉ) sur 10 coureurs : 3 places parmi 10, sans répétition, ordre important.
→ $A_{10}^{3}$ = 10 × 9 × 8 = 720 podiums.
Main de 5 cartes sur 52 : 5 cartes parmi 52, sans répétition, ordre indifférent (l'ordre des cartes en main ne change rien).
→ $C_{52}^{5}$ = 2 598 960 mains possibles.