Étude complète d'une fonction : méthode pas à pas

L'exercice phare du bac

L'étude complète d'une fonction est l'un des exercices les plus rentables de l'épreuve de spécialité : il est fréquent, il rapporte beaucoup de points et il suit toujours le même plan. La clé n'est pas l'inspiration mais la méthode : sept étapes à dérouler dans l'ordre, sans en sauter aucune.

Les 7 étapes d'une étude complète

Domaine de définition $D_{f}$ .
Parité, périodicité, symétries (si pertinent).
Limites aux bornes de $D_{f}$ .
Dérivée $f^{'} (x)$ et son signe.
Tableau de variation.
Asymptotes et branches infinies.
Tracé de la courbe $(C_{f})$ .

Étape 1 — le domaine

On repère les contraintes : dénominateurs non nuls, expressions sous une racine $\geq 0$ , arguments d'un $ln$ strictement positifs.

Exemple. Pour $f (x) = \frac{ln ( x - 1 )}{x - 3}$ , il faut $x - 1 > 0$ et $x - 3 \neq = 0$ , d'où $D_{f} =] 1, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

Étape 2 — symétries

Si $f (- x) = f (x)$ et $D_{f}$ symétrique : fonction paire (axe $O y$ ).
Si $f (- x) = - f (x)$ et $D_{f}$ symétrique : fonction impaire (centre $O$ ).
Si $f (x + T) = f (x)$ : fonction périodique de période $T$ (typique du trigonométrique).

Exploiter une symétrie permet de réduire l'étude à un demi-domaine, donc de gagner du temps.

Étape 3 — limites

On calcule les limites aux bornes ouvertes de $D_{f}$ . Devant une forme indéterminée, on utilise les croissances comparées et les limites usuelles (voir la fiche limites).

Étape 4 — dérivée et signe

On calcule $f^{'} (x)$ avec les règles de dérivation (voir fiche dérivées), puis on étudie son signe : facteur par facteur, ou via le discriminant d'un trinôme. Le signe de $f^{'}$ donne directement le sens de variation de $f$ .

Exemple résolu complet — $f (x) = x^{3} - 3 x$

Domaine. $f$ est polynomiale, donc $D_{f} = R$ .

Parité. $f (- x) = (- x)^{3} - 3 (- x) = - x^{3} + 3 x = - f (x)$ : $f$ est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Limites. $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ et $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ (le terme dominant $x^{3}$ impose le comportement).

Dérivée. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$ .

Signe de $f^{'}$ . Le trinôme s'annule en $x = - 1$ et $x = 1$ . Il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles :

$f^{'} (x) > 0$ sur $] - \infty, - 1 [$ et $] 1, + \infty [$ : $f$ croissante ;
$f^{'} (x) < 0$ sur $] - 1, 1 [$ : $f$ décroissante.

Extremums. $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ (maximum local) et $f (1) = 1 - 3 = - 2$ (minimum local).

Tableau de variation. $f$ croît jusqu'au maximum $2$ en $x = - 1$ , décroît jusqu'au minimum $- 2$ en $x = 1$ , puis recroît vers $+ \infty$ .

Tracé. On place les extremums $(- 1, 2)$ et $(1, - 2)$ , les intersections avec l'axe des abscisses ( $x^{3} - 3 x = x (x^{2} - 3) = 0$ donne $x = 0, \pm 3$ ), et on respecte la symétrie centrale.

Étape 6 — asymptotes

Asymptote horizontale $y = L$ si $x \to \pm \infty lim f (x) = L$ (fini).
Asymptote verticale $x = a$ si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ .
Asymptote oblique $y = a x + b$ : on calcule $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ puis $b = x \to \pm \infty lim (f (x) - a x)$ .

Étape 7 — tracé

On dessine d'abord les asymptotes en pointillés, on place les points remarquables (extremums, intersections avec les axes, points d'inflexion éventuels), puis on relie en respectant scrupuleusement le tableau de variation.

Second exemple — une fonction avec asymptote oblique

Étudions $g (x) = x + \frac{1}{x}$ pour illustrer l'étape des asymptotes.

Domaine. $D_{g} = R^{*} =] - \infty, 0 [\cup] 0, + \infty [$ (le dénominateur $x$ doit être non nul).

Parité. $g (- x) = - x - \frac{1}{x} = - g (x)$ : $g$ est impaire.

Asymptote verticale. $x \to 0^{+} lim g (x) = + \infty$ et $x \to 0^{-} lim g (x) = - \infty$ : la droite $x = 0$ est asymptote verticale.

Asymptote oblique. On calcule $a = x \to + \infty lim \frac{g ( x )}{x} = lim (1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 1$ , puis $b = x \to + \infty lim (g (x) - x) = lim \frac{1}{x} = 0$ . La droite $y = x$ est donc asymptote oblique.

Dérivée. $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ , du signe de $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ . On retrouve un minimum local en $x = 1$ ( $g (1) = 2$ ) et un maximum local en $x = - 1$ ( $g (- 1) = - 2$ ).

L'erreur fatale à éviter

Ne jamais oublier d'inscrire $D_{f}$ dans le tableau de variation. Si $f$ n'est pas définie en $a$ , on place une double barre verticale et on précise « $a$ exclu ». Un tableau qui ignore le domaine est sanctionné.

À retenir

L'étude de fonction est un protocole : domaine → symétries → limites → dérivée et signe → tableau → asymptotes → tracé. Le tableau de variation est la pièce maîtresse que le correcteur cherche en premier ; il doit afficher le domaine, le signe de $f^{'}$ et les extremums.

Tu veux t'entraîner ?

Va sur les cours Terminale, chapitre « Étude de fonctions ». Chaque exercice corrigé suit exactement ces sept étapes.