Dérivées : toutes les formules

Cette fiche regroupe toutes les formules de dérivation du lycée. Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ : c'est la limite du taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h \to 0$.

La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ le nombre dérivé $f'(x)$. Elle sert surtout à étudier les variations d'une fonction : si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ y est croissante. Maîtriser les dérivées usuelles et les règles ($uv$, $\frac{u}{v}$, composée) est indispensable pour toute l'analyse.

Dérivées usuelles

$f (x) = k$	= $f^{'} (x) = 0$	$k$ constante
$f (x) = x$	= $f^{'} (x) = 1$
$f (x) = x^{n}$	= $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$	$n$ entier, $n \geq 1$
$f (x) = \frac{1}{x}$	= $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$	sur $] - \infty; 0 [$ ou $] 0; + \infty [$
$f (x) = \frac{1}{x ^{n}}$	= $f^{'} (x) = - \frac{n}{x ^{n + 1}}$	$x \neq = 0$
$f (x) = x$	= $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$	dérivable sur $] 0; + \infty [$
$f (x) = e^{x}$	= $f^{'} (x) = e^{x}$	sa propre dérivée
$f (x) = ln x$	= $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$	sur $] 0; + \infty [$
$f (x) = cos x$	= $f^{'} (x) = - sin x$
$f (x) = sin x$	= $f^{'} (x) = cos x$

Opérations sur les dérivées

$(u + v)^{'}$	= $u^{'} + v^{'}$	dérivée d'une somme
$(k u)^{'}$	= $k u^{'}$	$k$ constante
$(u v)^{'}$	= $u^{'} v + u v^{'}$	dérivée d'un produit
$(\frac{1}{v})^{'}$	= $- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$	avec $v \neq = 0$
$(\frac{u}{v})^{'}$	= $\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$	dérivée d'un quotient, $v \neq = 0$

Dérivée d'une fonction composée

$(g \circ u)^{'}$	= $u^{'} \times (g^{'} \circ u)$	soit $(g (u (x)))^{'} = u^{'} (x) g^{'} (u (x))$
$(u^{n})^{'}$	= $n u^{'} u^{n - 1}$	$n$ entier
$(e^{u})^{'}$	= $u^{'} e^{u}$
$(ln u)^{'}$	= $\frac{u ^{'}}{u}$	avec $u > 0$
$(u)^{'}$	= $\frac{u ^{'}}{2 u}$	avec $u > 0$
$(cos u)^{'}$	= $- u^{'} sin u$
$(sin u)^{'}$	= $u^{'} cos u$

Nombre dérivé & tangente

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	nombre dérivé en $a$
$f^{'} (a)$	= $= coefficient directeur de la tangente en a$	interprétation géométrique
$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$	équation de la tangente au point d'abscisse $a$

Dérivée & variations

$f^{'} (x) > 0$	= $f strictement croissante$	sur l'intervalle considéré
$f^{'} (x) < 0$	= $f strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$	sur l'intervalle considéré
$f^{'} (x) = 0$	= $f constante$	si vrai sur tout l'intervalle
$f^{'} (x_{0}) = 0$	= $x_{0} : extremum possible$	extremum si $f^{'}$ change de signe en $x_{0}$

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