Intégration par parties (IPP) : méthode Terminale spé

À quoi sert l'intégration par parties ?

L'intégration par parties (IPP) est l'outil de référence pour intégrer un produit de fonctions, là où ni les primitives usuelles ni un simple changement de variable ne suffisent. L'idée : transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple, en transférant la dérivation d'un facteur sur l'autre.

La formule

Pour deux fonctions $u$ et $v$ de classe $C^{1}$ :

$a \int b u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - a \int b u (x) v^{'} (x) d x .$

Elle découle directement de la dérivée d'un produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , que l'on intègre puis réarrange.

La règle d'or : qui dérive, qui s'intègre ?

Tout le succès d'une IPP tient au bon choix : quel facteur va-t-on dériver (on le note $v$ ) et quel facteur va-t-on intégrer (on le note $u^{'}$ ) ? L'astuce mnémotechnique LIATE donne l'ordre de priorité pour le facteur à dériver :

Logarithme ( $ln$ )
Inverse trigonométrique ( $arctan$ , etc.)
Algébrique ( $x^{n}$ )
Trigonométrique ( $sin$ , $cos$ )
Exponentielle ( $e^{x}$ )

Le facteur qui apparaît en premier dans LIATE devient $v$ (à dériver) ; l'autre devient $u^{'}$ (à intégrer). L'intuition : on dérive ce qui se simplifie en dérivant (un $ln$ ou un $x^{n}$ devient plus simple), et on intègre ce qui reste stable (une exponentielle).

Exemple 1 — $\int x e^{x} d x$

Choix. LIATE place l'algébrique $x$ avant l'exponentielle $e^{x}$ , donc $v = x$ et $u^{'} = e^{x}$ .

On en déduit $v^{'} = 1$ et $u = e^{x}$ .

Application :

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C$ .

Vérification en dérivant : $((x - 1) e^{x})^{'} = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ . Correct.

Exemple 2 — $1 \int e ln (x) d x$

Astuce. Il n'y a qu'un facteur ? On écrit $ln (x) = 1 \cdot ln (x)$ . Avec LIATE, le logarithme prime : $v = ln (x)$ et $u^{'} = 1$ .

On en déduit $v^{'} = \frac{1}{x}$ et $u = x$ .

Application :

$1 \int e ln (x) d x = [x ln (x)]_{1}^{e} - 1 \int e x \cdot \frac{1}{x} d x = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 1 \int e 1 d x = e - (e - 1) = 1$ .

Quand répéter l'IPP ?

Si après une première IPP il reste une intégrale du type $\int x^{k} e^{x} d x$ ou $\int x^{k} sin x d x$ avec $k \geq 1$ , on recommence. Chaque IPP abaisse le degré de $x^{k}$ d'une unité, jusqu'à atteindre une intégrale élémentaire. Par exemple $\int x^{2} e^{x} d x$ nécessite deux IPP successives.

Astuce avancée : l'IPP cyclique

Pour $\int e^{x} sin x d x$ et ses cousines, deux IPP font réapparaître l'intégrale de départ. On pose $I = \int e^{x} sin x d x$ , on effectue deux IPP et l'on obtient une équation de la forme $I = f (x) - I$ , d'où :

$2 I = f (x) ⟹ I = \frac{f ( x )}{2} .$

Concrètement, détaillons. On pose $I = \int e^{x} sin x d x$ .

Première IPP ( $v = sin x$ , $u^{'} = e^{x}$ ) : $I = e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x$ .

Seconde IPP sur $\int e^{x} cos x d x$ ( $v = cos x$ , $u^{'} = e^{x}$ ) : $\int e^{x} cos x d x = e^{x} cos x + \int e^{x} sin x d x = e^{x} cos x + I$ .

En reportant : $I = e^{x} sin x - e^{x} cos x - I$ , d'où $2 I = e^{x} (sin x - cos x)$ et finalement :

$\int e^{x} sin x d x = \frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2} + C .$

Exemple 3 — l'IPP répétée sur $\int x^{2} e^{x} d x$

Première IPP. $v = x^{2}$ , $u^{'} = e^{x}$ , donc $v^{'} = 2 x$ , $u = e^{x}$ :

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x} d x$ .

Seconde IPP sur $\int 2 x e^{x} d x$ : on a déjà vu (exemple 1) que $\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x}$ , donc $\int 2 x e^{x} d x = 2 (x - 1) e^{x}$ .

Bilan :

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 (x - 1) e^{x} + C = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$ .

Chaque IPP a fait baisser le degré du polynôme : de $x^{2}$ , à $x$ , à une constante.

Les pièges

Mauvais choix de $u^{'}$ et $v$ : si l'intégrale obtenue est plus compliquée que la première, c'est que les rôles sont inversés. On recommence en échangeant.
Oublier le crochet $[uv]_{a}^{b}$ dans l'IPP définie : c'est une perte de points systématique.
Erreur de signe : la formule comporte un moins devant $\int u v^{'}$ , jamais un plus.
Confondre $u$ et $u^{'}$ : bien identifier qui est la primitive et qui est la dérivée avant de substituer.

À retenir

$\int u^{'} v = [uv] - \int u v^{'}$ . On choisit le facteur à dériver avec LIATE (Logarithme, Inverse trigo, Algébrique, Trigo, Exponentielle). On répète l'IPP pour faire baisser le degré, et on exploite l'IPP cyclique pour les produits $e^{x} sin x$ ou $e^{x} cos x$ .

Plus d'exercices sur le chapitre intégrales en Terminale.