Comment calculer une limite : toutes les méthodes

La démarche générale face à une limite

Calculer une limite, c'est d'abord tester la substitution directe, puis, si l'on tombe sur une forme indéterminée, choisir la technique adaptée. En Première et Terminale spé Maths, six grandes méthodes couvrent l'immense majorité des cas. Le vrai savoir-faire est de reconnaître la forme indéterminée et d'y associer le bon outil.

Étape 0 — La substitution directe

Remplace toujours $x$ par la valeur cible en premier. Si tu obtiens un nombre fini ou $\pm \infty$ sans ambiguïté, c'est terminé. Ce n'est que si tu tombes sur une forme indéterminée qu'il faut travailler davantage.

Les 7 formes indéterminées

$$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\times \infty ,\infty -\infty ,1^{\infty },0^0,{\infty }^0$$

Toute autre situation (par exemple $\frac{3}{0^{+}}=+\infty$ ou $\frac{5}{\infty }=0$) se conclut directement.

Technique 1 — Factorisation

Cas $\frac{0}{0}$ avec des polynômes : factorise par $(x-a)$ en haut et en bas, puis simplifie.

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4.$$

Technique 2 — Expression conjuguée

Dès qu'une racine carrée crée une forme $\frac{0}{0}$, multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée pour faire disparaître la racine.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}.$$

Technique 3 — Croissances comparées

À l'infini, l'exponentielle écrase toute puissance, qui écrase elle-même le logarithme. À connaître :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty \text{et}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0(n>0).$$

On retient la hiérarchie : $\ln x\ll x^n\ll e^x$ au voisinage de $+\infty$.

Technique 4 — Limites notables (taux d'accroissement)

Ces trois limites se ramènent à une dérivée en $0$ et doivent être sues par cœur :

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ ;
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ ;
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$.

Technique 5 — Théorème d'encadrement (« gendarmes »)

Si, au voisinage du point, $g(x)\le f(x)\le h(x)$ et si $\lim g=\lim h=L$, alors $\lim f=L$. Idéal pour les fonctions oscillantes contenant $\sin$ ou $\cos$.

Exemple : pour $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ quand $x\to +\infty$, on encadre $-\frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$ ; les deux bornes tendent vers $0$, donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$.

Technique 6 — Reconnaître un nombre dérivé

Si tu vois apparaître $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ avec $x\to a$, c'est exactement la définition de $f^{\prime }(a)$. Inutile de chercher plus loin : la limite vaut le nombre dérivé.

Exemple résolu : une forme $\infty -\infty$

Calculons $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2+1})$.

1. Constat : $x\to +\infty$ et $\sqrt{x^2+1}\to +\infty$ : forme indéterminée $\infty -\infty$.
2. Conjugué : on multiplie par $\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}$ : $$x-\sqrt{x^2+1}=\frac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}.$$
3. Conclusion : le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2+1})=0.$$

Second exemple résolu — une croissance comparée

Calculons $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-\ln x}{x^2+1}$.

1. Constat : numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme $\frac{\infty }{\infty }$.
2. Factoriser par le terme dominant $x^2$ : $$\frac{x^2-\ln x}{x^2+1}=\frac{x^2(1-\frac{\ln x}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})}=\frac{1-\frac{\ln x}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}.$$
3. Croissances comparées : $\frac{\ln x}{x^2}\to 0$ et $\frac{1}{x^2}\to 0$.
4. Conclusion : la limite vaut $\frac{1-0}{1+0}=1.$

Quelle technique pour quelle forme ?

Situation	Technique
$\frac{0}{0}$ avec polynômes	Factorisation
$\frac{0}{0}$ avec racine carrée	Conjugué
$\frac{\infty }{\infty }$ avec $e^x$, $\ln$	Croissances comparées
$\infty -\infty$	Facteur dominant ou conjugué
Fonction oscillante	Gendarmes

Les pièges classiques

• Conclure trop vite sur une forme indéterminée sans la lever.
• Oublier la limite à gauche / à droite près d'une valeur interdite (le signe de $0^{+}$ ou $0^{-}$ change tout).
• Simplifier avant de factoriser et perdre le facteur $(x-a)$ responsable de l'indétermination.

À retenir

Toujours commencer par la substitution. Si la forme est indéterminée, identifie-la parmi les sept, puis applique : factorisation ($\frac{0}{0}$ polynomial), conjugué (racines), croissances comparées (exp / ln), gendarmes (oscillations) ou nombre dérivé. La hiérarchie $\ln x\ll x^n\ll e^x$ résout à elle seule beaucoup de cas.