Un invariant au tableau

On écrit au tableau les entiers $1,2,3,\dots ,2025$. À chaque étape, on efface deux nombres $a$ et $b$ de son choix, et on les remplace par leur différence en valeur absolue $|a-b|$. Le nombre de nombres écrits diminue donc de $1$ à chaque étape.

On répète l'opération jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un seul nombre au tableau. Ce dernier nombre peut-il être égal à $0$ ? Justifier rigoureusement, en déterminant sa parité.