Amis et inconnus (théorème de l'amitié)

Dans un groupe de $6$ personnes, deux personnes quelconques se connaissent ou ne se connaissent pas (la relation « se connaître » est symétrique).

Montrer qu'il existe toujours, parmi ces $6$ personnes, soit un groupe de $3$ personnes se connaissant deux à deux, soit un groupe de $3$ personnes ne se connaissant deux à deux pas du tout.

Montrer de plus que ce résultat devient faux avec seulement $5$ personnes.