Preuve combinatoire d'une identité de Fibonacci

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Donner une preuve combinatoire de l'identité :

$i, j \sum (i n - j) (j n - i) = F_{2 n + 2}$

pour tout $n \in N$ , où $(F_{n})_{n}$ est la suite de Fibonacci.