Points fixes dans les permutations (OIM 1987)

On désigne par $p_n(k)$ le nombre de permutations de $\mathbb{J}1,n\mathbb{K}$ ($n\ge 1$) ayant exactement $k$ points fixes. Montrer que

$$\sum _{k=0}^{n}k{p}_n(k)=n!$$

(OIM 1987)