Coloration de dominos avec trois couleurs

Un carré $2022\times 2022$ est divisé en dominos (c'est-à-dire en rectangles $2\times 1$). Montrer que l'on peut colorier les dominos avec trois couleurs, bleu, blanc et rouge, de telle sorte que chaque couleur soit utilisée un même nombre de fois, et que chaque domino partage un côté avec pas plus de deux dominos de la même couleur.