Groupes du Majestic Mystery Club

Dans le Majestic Mystery Club (MMC), les membres sont divisés en plusieurs groupes. Les groupes changent à la fin de chaque semaine de la manière suivante : dans chaque groupe, un membre est choisi comme roi, tous les rois quittent leurs groupes respectifs et forment un nouveau groupe. Si un groupe ne compte qu'un seul membre, ce membre accède au nouveau groupe et son ancien groupe est supprimé. Supposons que MMC ait $n$ membres et qu'au début ils forment tous un seul groupe. Montrer qu'il y aura une semaine à partir de laquelle chaque groupe aura au plus $1+\sqrt{2n}$ membres.