Éléments avec ratio borné

Soient $n$ et $r$ deux entiers strictement positifs. Quel est le plus petit entier $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que pour toute partition de l'ensemble $\{1,2,\cdots ,m\}$ en $r$ sous-ensembles $A_1,A_2,\cdots ,A_r$, avec $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\ne j$, il existe deux éléments $a$ et $b$ de $A_i$ (avec $1\le i\le r$) tels que :

$$1\le \frac{b}{a}\le 1+\frac{1}{n}.$$