Somme des carrés de produits de sous-ensembles

Considérons tous les sous-ensembles de l'ensemble $\{1,2,\cdots ,N\}$ qui ne comportent pas deux nombres consécutifs. Montrer que la somme des carrés des produits des nombres de chaque sous-ensemble est égale à $(N+1)!-1$.

Par exemple, pour $N=3$, on a : $1^2+2^2+3^2+(1\cdot 3{)}^2=23=4!-1=(3+1)!-1$.