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Stabilisation des nombres par opérations pgcd-ppcm

International

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Plusieurs entiers strictement positifs sont écrits sur un tableau noir. Une opération autorisée consiste à effacer deux nombres distincts et écrire, à leur place, leurs pgcd et ppcm. Montrer qu'après avoir répété une telle opération un certain nombre fini de fois, les nombres inscrits sur le tableau noir ne changent plus, quelles que soient les opérations supplémentaires que nous effectuons.

(Tournoi des villes)