Parité du nombre de solutions à une équation de fractions unitaires

Soit $A$ le nombre total de suites distinctes $(a_1,a_2,\dots ,a_{10})$ d'entiers strictement positifs tels que :

$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_{10}}=1.$$

Le nombre $A$ est-il pair ou impair ? Justifier votre réponse.

(Putnam)