Somme de nombres dans une matrice

Soit $n$ un entier strictement positif. On considère un tableau $n\times n$ de sorte que le terme situé à la ligne $i$ et la colonne $j$ ($1\le i,j\le n$) est égal à $\frac{1}{i+j-1}$. On colorie exactement $n$ des nombres en rouge de sorte qu'aucune ligne ou colonne ne contienne deux nombres rouges. Montrer que la somme des nombres rouges est $\ge 1$.