Enfants et tartes à la crème : entartage et récurrence

Supposons que $n\ge 3$ enfants jouent sur une aire de jeux, chacun tenant dans sa main une tarte à la crème. Tout à coup, chaque enfant lance sa tarte au visage de l'enfant qui lui est le plus proche. On suppose que toutes les distances entre les enfants sont distinctes afin que cette règle soit bien définie. Montrer que si $n$ est impair, alors au moins un enfant n'est pas entarté (i.e. ne reçoit pas de tarte dans sa figure).