Propriétés des coefficients de $(1 + x + x^2)^n$

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Pour $k \in {0, 1, 2, \dots, n}$ , soit $a_{k}$ le coefficient de $x^{k}$ dans le développement de l'expression $(1 + x + x^{2})^{n}$ . Montrer que :

$a_{0} a_{1} - a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} - \dots - a_{2 n - 1} a_{2 n} = 0$ ;
$a_{0}^{2} - a_{1}^{2} + a_{2}^{2} - a_{3}^{2} + \dots + (- 1)^{n - 1} a_{n - 1}^{2} + (- 1)^{n} a_{n}^{2} = a_{n}$ ;
$a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots = \frac{3 ^{n} + 1}{2}$ , $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$ ;
$a_{k} - n a_{k - 1} + (k n) a_{k - 2} - \dots + (- 1)^{k} (k n) a_{0} = 0$ si $k \equiv 0 (mod 3)$ .