Placement nombres sur damier $n \times n$

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ un entier pair. On place chacun des nombres $1,2,\cdots ,n^2$ sur une des cases d'un damier $n\times n$. Soit $S_1$ la somme des nombres placés sur les cases noires et $S_2$ la somme des nombres placés sur les cases blanches.