Jeu alternant sur un cube : stratégie gagnante

Un cube d'arête de longueur $n$ est partitionné en $n^3$ cubes unités. On dit que deux cubes unités sont adjacents s'ils partagent une face commune. Les joueurs A et B jouent au jeu suivant sur le plus gros cube : A commence dans un cube unité de son choix, puis se déplace vers un cube unité adjacent. Puis B, partant de ce dernier cube unité, se déplace vers un troisième, adjacent à celui d'où il est parti, et ainsi de suite. A et B jouent en alternance, sans jamais revisiter un cube unité visité auparavant. Si le premier qui ne peut pas jouer perd la partie, et si A et B jouent avec les meilleures stratégies possibles, qui sera le gagnant ?