Sommes de réciproques proches

Montrer que parmi n'importe quels 14 entiers naturels différents, il est possible de choisir, pour un $k$ convenable ($1\le k\le 7$), deux sous-ensembles disjoints, à $k$-éléments, $\{a_1,\cdots ,a_k\}$ et $\{b_1,\cdots ,b_k\}$ de telle sorte que les sommes

$A=\frac{1}{a_1}+\cdots +\frac{1}{a_k}$ et $B=\frac{1}{b_1}+\cdots +\frac{1}{b_k}$

diffèrent par moins de $\frac{1}{1000}$.