Tableau rectangulaire et égalité des dimensions

Dans un tableau rectangulaire à $m$ lignes et $n$ colonnes, formé de nombres réels positifs, chaque ligne et chaque colonne contient au moins un élément strictement positif. De plus, si l'intersection d'une ligne et d'une colonne est un élément strictement positif, alors la somme de leurs éléments est la même. Montrer que $m=n$.