Opération de moyenne : $\frac{a+b}{4}$ et minoration du résultat final

On écrit $n$ nombres sur un tableau noir. À chaque étape, on peut effacer n'importe quels deux nombres $a$ et $b$, et écrire à la place $\frac{a+b}{4}$. Après avoir répété cette étape $n-1$ fois, il ne reste qu'un seul nombre. Montrer que si on commence avec $n$ fois le chiffre 1 sur le tableau noir, il restera au final un nombre supérieur ou égal à $\frac{1}{n}$.