Suites alternées et nombre de Fibonacci

Une suite croissante est dite une suite alternée si le premier terme est impair, le deuxième est pair, le troisième est impair, le quatrième est pair... et ainsi de suite. L'ensemble vide $\varnothing$ est considéré comme une suite alternée. Soit $A(n)$ le nombre de suites alternées dont les termes sont des éléments de l'ensemble $[[1,n]]$. Il est clair que $A(1)=2$ et $A(2)=3$.

Déterminer $A(20)$.