Identité combinatoire avec somme de carrés

Soient $S=\{1,2,\cdots ,n+1\}$ et $T=\{(x,y,z)\in S^3:x<z\text{ et }y<z\}$ avec $n\ge 2$. En déterminant $|T|$, de deux façons différentes, montrer que :

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=|T|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)+2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3}\right).$$