Parallélogrammes dans un triangle subdivisé

Soient ABC un triangle équilatéral, et n un entier naturel non nul. On subdivise chaque côté du triangle ABC, à l'aide de n points, en $n+1$ segments égaux. On relie ensuite chaque paire de ces points, situés sur deux côtés voisins du triangle, par un segment parallèle au troisième côté (les cas $n=1,n=2$ et $n=3$ sont donnés ci-dessous).

Soit $a_n$ le nombre de parallélogrammes obtenus dans la n-subdivision du triangle équilatéral ABC, par exemple $a_1=3,a_2=15$ et $a_3=45$. Déterminer $a_n$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.