Applications avec image fermée inférieurement

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, soit $a_n$ le nombre d'applications $f:\{1,n\}\to \{1,n\}$ telles que :

si $j\in f(\{1,n\})$ alors $i\in f(\{1,n\})$ pour tout $i$ avec $1\le i\le j$.

Montrer que : $a_n=\sum _{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a_{n-k}$.