Divisibilité dans une somme de fractions unitaires

Soit $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, et soit $q=\lfloor \frac{2p}{3}\rfloor$. Montrer que si

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{(q-1)q}=\frac{m}{n}$$

pour des entiers $m$ et $n$, alors $p$ divise $m$.