Inégalité avec moyennes harmoniques

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Montrer que pour tous nombres réels strictement positifs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ on a :

$\frac{1}{1 + x _{1}} + \frac{1}{1 + x _{1} + x _{2}} + \dots + \frac{1}{1 + x _{1} + \dots + x _{n}} < \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}}$

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