Inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée

International

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Montrer que pour tous nombres réels $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ on a :

$\frac{x _{1}}{1 + x _{1}^{2}} + \frac{x _{2}}{1 + x _{1}^{2} + x _{2}^{2}} + \dots + \frac{x _{n}}{1 + x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}} < n$

(Proposé à l'OIM, 2001)