Suites de nombres réels et propriété de maximum

Soit $a_1,a_2,a_3,\dots$ une suite de nombres réels strictement positifs. On suppose qu'il existe un entier $s$ strictement positif, tel que, pour tout $n>s$ on ait :

$$a_n=\max \{a_k+a_{n-k}:1\le k\le n-1\}.$$

Montrer qu'il existe des entiers strictement positifs $l$ et $N$, avec $l\le s$, tels que, pour tout $n\ge N$ :

$$a_n=a_l+a_{n-l}.$$

(OIM, 2010)