Suite à différences minorées et bornée

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$ une suite réelle telle que pour tout $(i,j)\in {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$$|a_i-a_j|\ge \frac{1}{i+j}$$

et il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que :

$$0\le a_n\le c\text{pour tout }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Montrer que : $c\ge 1$.