Chiffres identiques dans les deux dernières positions

On choisit $a_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ fixé, puis $a_1\in \{a_0+54,a_0+77\}$, et ainsi de suite, si $a_k$ est fixé alors on choisit $a_{k+1}\in \{a_k+54,a_k+77\}$. On obtient, de cette façon, une suite infinie $(a_n{)}_{n\ge 0}$.

Montrer qu'il existe toujours un terme de la suite dont les deux derniers chiffres (chiffre des unités et chiffre des dizaines) sont les mêmes.