Existence de n réels avec sommes et inverses nuls

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Déterminer tous les entiers $n \geq 2$ pour lesquels il existe des réels non nuls $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ vérifiant : $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}} = 0.$

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