Non-existence de fonctions très convexes

Une fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est dite très convexe si pour tout $x,y\in \mathbb{R}$ on a :

$$\frac{f(x)+f(y)}{2}\ge f\left(\frac{x+y}{2}\right)+|x-y|.$$

Montrer que de telles fonctions n'existent pas.

(États-Unis)