Somme de réciproques de termes

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $(a_{n})_{n \geq 1}$ et $(b_{n})_{n \geq 1}$ deux suites telles que $a_{k} b_{k} = 1$ pour tout $k \geq 1$ . On suppose que :

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}$

Déterminer la valeur de : $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ .