Valeur maximale de $k$ pour produits égaux

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{100}$ des réels tels que :

$a_{1} a_{2} \dots a_{100} = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{100} + 1) = \dots = (a_{1} + k) (a_{2} + k) \dots (a_{100} + k) .$

Quelle est la valeur maximale possible de $k \in N$ ?