Somme infinie avec puissances exponentielles

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Déterminer la valeur de la somme :

$\frac{2 ^{1}}{4 ^{1} - 1} + \frac{2 ^{2}}{4 ^{2} - 1} + \frac{2 ^{4}}{4 ^{4} - 1} + \frac{2 ^{8}}{4 ^{8} - 1} + \dots$