Borne sur somme de suite périodique d'entiers

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Soient $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ des entiers strictement positifs. On complète cette suite de façon périodique pour obtenir une suite infinie $(a_{n})_{n \geq 1}$ définie par ses premiers termes $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ et $a_{n + i} = a_{i}$ pour tout $i \in N^{*}$ . On suppose que :

$1 \leq a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n} \leq a_{1} + n$
$a_{a_{i}} \leq n + i - 1$ pour $i = 1, 2, \dots, n$

Montrer que :

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} \leq n^{2}$

(Proposé à l'OIM, 2013)

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