Suite récursive et partie entière du carré

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $(x_{n})_{n \geq 1}$ la suite définie par $x_{1} = 1$ , et pour tout $n \geq 1$ :

$x_{n + 1} = \frac{x _{n}}{n} + \frac{n}{x _{n}} .$

Montrer que $⌊ x_{n}^{2} ⌋ = n$ pour tout $n \geq 4$ . (Bulgarie)