Identité cubique sous contrainte quadratique

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a$ , $b$ , $c$ des nombres réels vérifiant $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . Montrer que :

$\frac{a ^{2}}{a ^{2} + 2 b c} + \frac{b ^{2}}{b ^{2} + 2 c a} + \frac{c ^{2}}{c ^{2} + 2 ab} = 1$