Propriété involutive d'une fonction

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $f : N^{*} \to N^{*}$ une fonction vérifiant $f (1) = 1$ , et pour tout $n \geq 2$ :

$f (n) = n - f (f (n - 1)) .$

Montrer que $f (n + f (n)) = n$ pour tout $n \in N^{*}$ .

(Bulgarie)