Majoration de somme avec racines cubiques

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Pour $n \in N^{*}$ on pose :

$a_{n} = \frac{n}{( n - 1 ) ^{4/3} + n ^{4/3} + ( n + 1 ) ^{4/3}}$

Montrer que : $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{999} < 50$ .