Polynôme avec conditions modulo $p$

Soient $p$ un nombre premier, et $Q$ un polynôme de degré $n$ à coefficients entiers tel que :

1. $Q(0)=0$, $Q(1)=1$,
2. pour tout entier $n$, $Q(n)$ est congru à $0$ ou $1$ modulo $p$.

Montrer que $n\ge p-1$.

(Proposé à l'OIM, 1997)