Identité de trois carrés

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a$ , $b$ et $c$ des nombres réels. Montrer que :

$(\frac{2 a + 2 b - c}{3})^{2} + (\frac{2 b + 2 c - a}{3})^{2} + (\frac{2 c + 2 a - b}{3})^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$