Quotient de puissances avec sommes nulles

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $x$ , $y$ , $z$ des nombres réels tels que $x + y + z = x^{- 1} + y^{- 1} + z^{- 1} = 0$ . Montrer que :

$\frac{x ^{6} + y ^{6} + z ^{6}}{x ^{3} + y ^{3} + z ^{3}} = x y z$