Fonction avec partie entière : expansion locale

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction telle que $f(f(x))=\lfloor x\rfloor$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Montrer qu'il existe deux réels distincts $a$ et $b$ tels que :

$$|f(a)-f(b)|\ge |a-b|$$