Convergence d'une suite récurrente

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$ une suite réelle vérifiant $a_1=\frac{1}{2}$ et pour tout $n\ge 1$ :

$$a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}$$

Montrer que pour tout $n\ge 1$ on a :

$$a_1+a_2+\cdots +a_n<1$$

(Roumanie)