Suite itérée et reste modulo 100

Soit $(a_n{)}_n$ la suite définie par $a_1=1+2^{2016}$ et :

$$a_{n+1}=\frac{5}{4}{a}_n-\frac{3}{4}\sqrt{a_n^2-2^{2018}}\text{pour }n\in [1,1008]$$

Déterminer le reste de la division euclidienne de $a_{1009}$ par $100$.